IX Krakowska Konferencja Metodologiczna: Struktura i emergencja

Roman Duda
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski

Strukturalizm a matematyka

STRESZCZENIE

Przez strukturalizm w matematyce rozumie się pogląd, że do obiektów matematycznych odwołujemy się zawsze w kontekście jakiejś struktury i że wszystko, co można o takich obiektach powiedzieć, musi dać się wyrazić w terminach takiej struktury. Za prekursora takiego poglądu w matematyce uchodzi Richard Dedekind, który w 1872 r. zdefiniował liczby rzeczywiste, odchodząc od rozważania indywidualnych cech tych liczb na rzecz rozważań ich względem obejmującej je struktury.

Takie potoczne rozumienie strukturalizmu w matematyce nie jest jednak ostre. Jako pierwszy, precezyjny sens nadał mu Nicolas Bourbaki w swojej Theorie des ensembles i uznał za fundamentalne pojęcie całego swojego traktatu Elements de mathematiques. Zamiar strukturalnego przedstawienia całej matematyki nie powiódł mu się jednak i w Algebre commutative przyznał, że podejście strukturalne ma ograniczenia i że do prezentacji niektórych zagadnień z tego tomu bardziej właściwa byłaby teoria kategorii. Do rozwinięcia tej myśli nie doszło.

W drugiej połowie XX wieku koncepcje strukturalistyczne w matematyce rozwijali Paul Benacerraf, Michael Resnick, Geoffrey Hellman, Stewart Shapiro i inni. Żaden nie uzyskał szerszego uznania.

Podstawową słabością strukturalizmu w matematyce jest zachwianie delikatnej równowagi między rozważaniem konkretnych obiektów a rozważaniem związków wiążących układy tych obiektów. Strukturalistyczne zdegradowanie obiektów do biernej roli miejsca w strukturze pozbawiło je samoistnego znaczenia i zagroziło matematyce (w razie przyjęcia tego punktu widzenia) przekreśleniem tych kierunków badań, które są skoncentrowane na rozpoznawaniu własności konkretnych obiektów. W konsekwencji groziłoby to rozerwaniem jednej z ważnych linii rozwoju matematyki, biegnącej od obiektów poprzez wiążące je struktury do nowych obiektów. Zawsze były obiekty w matematyce obecne i niektóre z nich nadal są ważne. Przedmiotem matematyki jest pewna rzeczywistość, w której są zarówno obiekty jak i związki między nimi, a zatem te związki (struktury) są tylko jedną stroną tej rzeczywistości.